Décimo cuarto desafío do País.
Podes ver o planteamento do problema en:
Partículas en colisión
e o enunciado é:
En un recinto cerrado tenemos un conjunto de partículas en tres estados diferentes: positivo, negativo y neutro. Inicialmente hay 30 partículas positivas, 10 negativas y 17 neutras. En un momento dado, las partículas comienzan a moverse y a chocar entre ellas. Así, cuando dos partículas de diferente estado chocan, ambas cambian al estado restante. Es decir, si chocan una partícula positiva y otra negativa, tras el choque se convierten en dos neutras. De la misma manera, si chocan una negativa y una neutra se convierten en dos positivas; y si chocan una neutra y una positiva se convierten en dos negativas. Esto significa que cada vez que chocan dos partículas de diferente signo, hay una partícula menos de cada uno de sus estados mientras que al estado restante se incorporan dos unidades. Cuando colisionan dos de igual signo, no varían su estado.
La pregunta de esta semana es si es posible diseñar una secuencia de choques de forma que al final todas las partículas acaben teniendo el mismo estado. Si es posible, hay que explicar cómo hacerlo. En caso contrario, hay que demostrar por qué no se puede.
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17 jun 2011
15 jun 2011
Solución ao problema da camiseta bordada
As liñas teñen un ángulo de 4º 30'.
Aquí podes ver o vídeo coa Solución
ou ver un estrato da solución:
Aquí podes ver o vídeo coa Solución
ou ver un estrato da solución:
9 jun 2011
Unha camiseta bordada en zig-zag
Decimoterceiro desafío do País
Podes velo no vídeo: Bordado en zig-zag
O enunciado proposto é o seguinte:
Se quiere diseñar un adorno bordado para una camiseta siguiendo el esquema y las condiciones siguientes:
a) Las puntadas se realizarán en zigzag entre dos rectas que forman un ángulo alfa (ver dibujo en el vídeo).
b) La primera puntada empezará en el punto O, común a las dos rectas, y acabará en una de las rectas (que llamaremos horizontal).
c) Todas las demás puntadas deberán tener la misma longitud y se trazarán sin superponerse ni volver hacia atrás.
d) La última puntada debe ser perpendicular a la línea horizontal.
e) Queremos dar exactamente 20 puntadas.
Se pregunta: 1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones? 2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada? 3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?
Podes velo no vídeo: Bordado en zig-zag
O enunciado proposto é o seguinte:
Se quiere diseñar un adorno bordado para una camiseta siguiendo el esquema y las condiciones siguientes:
a) Las puntadas se realizarán en zigzag entre dos rectas que forman un ángulo alfa (ver dibujo en el vídeo).
b) La primera puntada empezará en el punto O, común a las dos rectas, y acabará en una de las rectas (que llamaremos horizontal).
c) Todas las demás puntadas deberán tener la misma longitud y se trazarán sin superponerse ni volver hacia atrás.
d) La última puntada debe ser perpendicular a la línea horizontal.
e) Queremos dar exactamente 20 puntadas.
Se pregunta: 1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones? 2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada? 3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?
8 jun 2011
Solución ao 12º desafío do País
A solución ao duodécimo problema é 400 coches
Podes ver a solución no Pais: Solución ao 12º desafío
ou ver a solución seguinte:
Podes ver a solución no Pais: Solución ao 12º desafío
ou ver a solución seguinte:
5 jun 2011
Unha exhibición de coches de carreira
Duodécimo desafío do Pais
Podes velo no vídeo
Exhibición de coches
ou ler o enunciado:
Se quiere organizar una exhibición de coches de carreras de manera que al comienzo los vehículos formen un cuadrado (de n filas de coches de n coches cada una) y al final los mismos automóviles formen un rectángulo en el que el numero de filas inicial aumente en 5. ¿Puede saberse con total seguridad cuantos coches participarían en esa exhibición? En caso afirmativo, dar el número (justificando la respuesta) y en caso negativo explicar por qué no puede saberse.
Podes velo no vídeo
Exhibición de coches
ou ler o enunciado:
Se quiere organizar una exhibición de coches de carreras de manera que al comienzo los vehículos formen un cuadrado (de n filas de coches de n coches cada una) y al final los mismos automóviles formen un rectángulo en el que el numero de filas inicial aumente en 5. ¿Puede saberse con total seguridad cuantos coches participarían en esa exhibición? En caso afirmativo, dar el número (justificando la respuesta) y en caso negativo explicar por qué no puede saberse.
14 may 2011
6 may 2011
Un cubo de suma 0
Oitavo desafío o País
Esta vez a proposta vai a cargo de dúas alumnas, de 4º ESO, de Estalmat Madrid;
podes ver a proposta do problema no seguinte vídeo:
Un cubo de suma 0
e o enunciado escrito é o seguinte:
A cada uno de los vértices de un cubo le asignamos un 1, o un -1. Después asignamos a cada una de las caras el producto de los números de sus vértices.
¿Puede hacerse la asignación inicial de manera que la suma de los 14 números (8 de los vértices y 6 de las caras) sea 0? Encontrar tal asignación o demostrar que no existe. Como en el problema del reloj, se recomienda no probar con todos los casos posibles.
Esta vez a proposta vai a cargo de dúas alumnas, de 4º ESO, de Estalmat Madrid;
podes ver a proposta do problema no seguinte vídeo:
Un cubo de suma 0
e o enunciado escrito é o seguinte:
A cada uno de los vértices de un cubo le asignamos un 1, o un -1. Después asignamos a cada una de las caras el producto de los números de sus vértices.
¿Puede hacerse la asignación inicial de manera que la suma de los 14 números (8 de los vértices y 6 de las caras) sea 0? Encontrar tal asignación o demostrar que no existe. Como en el problema del reloj, se recomienda no probar con todos los casos posibles.
3 may 2011
Solución ao piano xigante
Xa está publicada a solución ao 7º Desafio do País, tiutulado "O piano xigante".
A solución aportada por Alicia Pedreira é a seguinte:
Numera as notas de 0 a 6, tal como mostra a seguinte táboa, vai marcando as pulsacóns das teclas cos números correspondentes e deixa as celas de color os intervalos sen pulsar:
1,2,4,0,4,2,1, 1,2,4,0,4,2,1, 1,2,4,0,4,2,1,…
de período 7,
Resposta a. (7000/7)x2 = 2000 pulsacións da tecla DO
Resposta b. Como podes observar na táboa as teclas Mi, Sol e La non se chegan a pulsar.
Agora mira a solución dada no País.
A solución aportada por Alicia Pedreira é a seguinte:
Numera as notas de 0 a 6, tal como mostra a seguinte táboa, vai marcando as pulsacóns das teclas cos números correspondentes e deixa as celas de color os intervalos sen pulsar:
Podes observar a seguinte secuencia de teclas:
1,2,4,0,4,2,1, 1,2,4,0,4,2,1, 1,2,4,0,4,2,1,…
de período 7,
Resposta a. (7000/7)x2 = 2000 pulsacións da tecla DO
Resposta b. Como podes observar na táboa as teclas Mi, Sol e La non se chegan a pulsar.
Agora mira a solución dada no País.
30 abr 2011
Un piano xigante
Séptimo desafío do PAÍS
Ver o vídeo do problema: Un piano xigante
Enunciado: Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos SÓLO las teclas blancas.
Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:
1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?
2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?
Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000. Y aunque este número no es necesario para resolver el problema podemos afirmar que el piano debe tener unos 24 millones y medio de teclas blancas.
Ver o vídeo do problema: Un piano xigante
Enunciado: Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos SÓLO las teclas blancas.
Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:
1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?
2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?
Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000. Y aunque este número no es necesario para resolver el problema podemos afirmar que el piano debe tener unos 24 millones y medio de teclas blancas.
27 abr 2011
Solución a unha cuestión de sombreiros
Xa está publicada a solución ao 6º Desafío do País, titulado: Unha cuestión de sombreiros.
A continuación tes a solución aportada por Alicia Pedreira, que, desde logo, estivo entre ese 25% de solucións correctas (entre 1700 enviadas):
Los presos acuerdan que el preso nº 30 decide la elección de su sombrero de la siguiente forma:
* negro: si el número de negros es par
* blanco: si el número de negros es impar
así tendrá un 50% de posibilidades de salvarse; pero todos los demás se salvarán, ya que el siguiente preso puede reconocer el color de su sombrero basándose en la paridad de los que ve y el color citado por el nº 30.
Por ejemplo:
- si el nº 30, citó negro, el nº 29 dirá negro si ve un nº impar de negros y blanco si ve un nº par de negros.
De manera recurrente, el resto de los presos sabrán el color de sus sombreros.
Podes ver o vídeo coa solución no País
A continuación tes a solución aportada por Alicia Pedreira, que, desde logo, estivo entre ese 25% de solucións correctas (entre 1700 enviadas):
Los presos acuerdan que el preso nº 30 decide la elección de su sombrero de la siguiente forma:
* negro: si el número de negros es par
* blanco: si el número de negros es impar
así tendrá un 50% de posibilidades de salvarse; pero todos los demás se salvarán, ya que el siguiente preso puede reconocer el color de su sombrero basándose en la paridad de los que ve y el color citado por el nº 30.
Por ejemplo:
- si el nº 30, citó negro, el nº 29 dirá negro si ve un nº impar de negros y blanco si ve un nº par de negros.
De manera recurrente, el resto de los presos sabrán el color de sus sombreros.
Podes ver o vídeo coa solución no País
22 abr 2011
Unha cuestión de sombreiros
Sexto problema proposto polo País, que podes ver no vídeo:
e que ten por enunciado o seguinte:
Se informa a 30 presos de que se les va a colocar formando una fila y se les va a poner un sombrero en la cabeza a cada uno, blanco o negro, sin especificar cuántos gorros se pondrán de cada color (pueden ser 29 blancos y uno negro, 15 y 15, 17 y 13...). Cada preso sólo verá los sombreros de los prisioneros que tiene delante pero no el suyo ni los de detrás. Un guardia irá preguntando sucesivamente a cada uno de los presos desde el último (el que ve todos pero no el suyo) al primero (que no ve ninguno) de qué color es su sombrero. Los presos sólo pueden contestar blanco o negro: si aciertan son liberados y si no, son ejecutados. Todos los presos pueden escuchar las respuestas anteriores a las suyas.
Antes de llevar esto a cabo, los presos, que conocen la prueba a la que van a ser sometidos pero no naturalmente de qué color serán sus sombreros, tienen un tiempo para hablar entre ellos y pensar una estrategia de grupo. ¿Cuál es la mejor estrategia para salvar SEGURO al mayor número de prisioneros? ¿Cuántos se salvan seguro con esa estrategia?
e que ten por enunciado o seguinte:
Se informa a 30 presos de que se les va a colocar formando una fila y se les va a poner un sombrero en la cabeza a cada uno, blanco o negro, sin especificar cuántos gorros se pondrán de cada color (pueden ser 29 blancos y uno negro, 15 y 15, 17 y 13...). Cada preso sólo verá los sombreros de los prisioneros que tiene delante pero no el suyo ni los de detrás. Un guardia irá preguntando sucesivamente a cada uno de los presos desde el último (el que ve todos pero no el suyo) al primero (que no ve ninguno) de qué color es su sombrero. Los presos sólo pueden contestar blanco o negro: si aciertan son liberados y si no, son ejecutados. Todos los presos pueden escuchar las respuestas anteriores a las suyas.
Antes de llevar esto a cabo, los presos, que conocen la prueba a la que van a ser sometidos pero no naturalmente de qué color serán sus sombreros, tienen un tiempo para hablar entre ellos y pensar una estrategia de grupo. ¿Cuál es la mejor estrategia para salvar SEGURO al mayor número de prisioneros? ¿Cuántos se salvan seguro con esa estrategia?
20 abr 2011
15 abr 2011
Quinto desafío do País
Chega á cita semanal o quinto proposto polo País.
Esta vez trátase dun xogo de estratexía e consiste en averiguar quen gaña: o primeiro ou segundo gañador e cal é esa estratexia gañadora.
Podes ver o vídeo co enunciado en: Un País de palillos
Esta vez trátase dun xogo de estratexía e consiste en averiguar quen gaña: o primeiro ou segundo gañador e cal é esa estratexia gañadora.
Podes ver o vídeo co enunciado en: Un País de palillos
E o enunciado é:
Primer juego: Por turnos, cada jugador retira uno, dos o tres palillos del dibujo. Gana el que retira el último palillo, esto es, el que deja la mesa vacía.
Segundo juego: Por turnos, los jugadores retiran el número que quieran de palillos pero siempre de la misma letra cada vez (de la P, de la A, de la I o de la S). Gana también el que retira el último palillo.
Se trata, como decíamos de hallar la estrategia ganadora en ambos juegos (el modo de ganar seguro) precisando si la tiene el jugador que abre el juego o el segundo.
12 abr 2011
Solución ao cuarto problema do País
Xa está a solución ao cuarto problema planteado polo País, a solución é que sempre hai unha recta para cada reloxo de dúas cores e podes atopala no seguinte enlace:
Unha recta para cada reloxo
Unha recta para cada reloxo
7 abr 2011
4º desafio do País: Un reloxo de dúas cores
Xa temos planteado o cuarto problema que o País publica, co motivo do centenario da Real Sociedade Matemática Española.
Podes velo no vídeo: Un reloxo de dúas cores
E o enunciado é:
Se considera un reloj con sus 12 números en torno a una circunferencia: 1, 2, ..., 12. Se pintan de azul o rojo cada uno de los 12 números de modo que haya seis pintados de azul y seis de rojo. El problema consiste en demostrar, que, independientemente de cómo se haya pintado, siempre existirá una posible recta que divida al reloj por la mitad, dejando en cada lado seis números, tres pintados de rojo y tres pintados de azul.
Envía a túa solución ao correo
ata as 00.00 horas do martes 12 de abril.
Podes velo no vídeo: Un reloxo de dúas cores
E o enunciado é:
Se considera un reloj con sus 12 números en torno a una circunferencia: 1, 2, ..., 12. Se pintan de azul o rojo cada uno de los 12 números de modo que haya seis pintados de azul y seis de rojo. El problema consiste en demostrar, que, independientemente de cómo se haya pintado, siempre existirá una posible recta que divida al reloj por la mitad, dejando en cada lado seis números, tres pintados de rojo y tres pintados de azul.
Envía a túa solución ao correo
ata as 00.00 horas do martes 12 de abril.
5 abr 2011
Solución ao problema nº 3
Xa se publicou a solución ao problema nº 3 do País, titulado Cadrado máxico de produtos:
podes ver a solución no País.
O próximo problema, este xoves.
O próximo problema, este xoves.
1 abr 2011
3º problema do País: Un cadrado máxico de produtos
Na terceira proposta, o País propón un cadradao máxico de produtos, é dicir:
El problema consiste en completar un cuadrado de tres por tres, donde ya se ha escrito el 15 en la posición central, con otros ocho números enteros positivos, todos ellos distintos entre sí y de tal manera que al multiplicar los tres números de cada fila, de cada columna y de cada una de las dos diagonal obtengamos, en todos los casos, el mismo resultado.
No hace falta explicar cómo se ha encontrado. Es suficiente con enviar el cuadrado de la manera siguiente, sustituyendo las cruces por los números del cuadrado:
Fila 1: x x x
Fila 2: x 15 x
Fila 3: x x x
Podes ver o problema neste vídeo: Cadrado máxico de números
Recorda que podes optar ao sorteo da colección de libros, mandando a solución antes do martes, 5 de abril, ás 00:00 h (¿ou luns, ás 24:00 h?)
No hace falta explicar cómo se ha encontrado. Es suficiente con enviar el cuadrado de la manera siguiente, sustituyendo las cruces por los números del cuadrado:
Fila 1: x x x
Fila 2: x 15 x
Fila 3: x x x
Podes ver o problema neste vídeo: Cadrado máxico de números
Recorda que podes optar ao sorteo da colección de libros, mandando a solución antes do martes, 5 de abril, ás 00:00 h (¿ou luns, ás 24:00 h?)
30 mar 2011
Solución a o problema nº2: A formiga ameazada
Unha formiga sen salvación.
Xa está publicada a solución ao problema planteado no País: A formiga ameazada.
A solución ás tres preguntas planteadas é:
1) A formiga non sobrevive, ten probabilidade 0 de sobrevivir.
2) Probabilidade (morre en 8) = 4/7.
3) Probabilidade (morre en 7) = 3/7.
Ver a solución aquí
Xa está publicada a solución ao problema planteado no País: A formiga ameazada.
A solución ás tres preguntas planteadas é:
1) A formiga non sobrevive, ten probabilidade 0 de sobrevivir.
2) Probabilidade (morre en 8) = 4/7.
3) Probabilidade (morre en 7) = 3/7.
Ver a solución aquí
29 mar 2011
2º problema do País: Unha formiga ameazada
Coincidindo co centenario da fundación da Real Sociedade Matemática Española o País está propoñendo un problema cada semana.
O desta semana era o problema da formiga ameazada (ver vídeo), cuxo enunciado é:
Una hormiga se desplaza sin parar por las aristas de un cubo. Parte del vértice marcado con el número 1 (ver dibujo del profesor Blasco en la pizarra) por una de las tres aristas que salen de ese punto (con probabilidad 1/3 de tomar cualquiera de los caminos). Cada vez que llega a un nuevo vértice prosigue su paseo por una de las tres aristas que convergen en ese punto (vuelve para atrás, tira para un lado o para el otro), de nuevo con probabilidad 1/3 de tomar cada una de las rutas.
Los vértices 7 y 8 (ver dibujo en la pizarra) se rocían de insecticida, que es el único método que hay para matar a la hormiga: si el insecto llega a cualquiera de ellos morirá fulminantemente. Se pregunta: Partiendo del vértice 1. ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? ¿Y en el 8?
Solución ao 1º problema planteado: El camino del lechero
O desta semana era o problema da formiga ameazada (ver vídeo), cuxo enunciado é:
Una hormiga se desplaza sin parar por las aristas de un cubo. Parte del vértice marcado con el número 1 (ver dibujo del profesor Blasco en la pizarra) por una de las tres aristas que salen de ese punto (con probabilidad 1/3 de tomar cualquiera de los caminos). Cada vez que llega a un nuevo vértice prosigue su paseo por una de las tres aristas que convergen en ese punto (vuelve para atrás, tira para un lado o para el otro), de nuevo con probabilidad 1/3 de tomar cada una de las rutas.
Los vértices 7 y 8 (ver dibujo en la pizarra) se rocían de insecticida, que es el único método que hay para matar a la hormiga: si el insecto llega a cualquiera de ellos morirá fulminantemente. Se pregunta: Partiendo del vértice 1. ¿Qué probabilidad hay de que la hormiga no muera nunca? ¿Qué probabilidad hay de que muera en el vértice 7? ¿Y en el 8?
Solución ao 1º problema planteado: El camino del lechero
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