23 feb. 2011

A soidade dos números primos

No primeiro curso da universidade estudei certos números primos máis especiais ca o resto, e aos que os matemáticos chaman primos xemelgos: son parellas de primos sucesivos, ou mellor, case sucesivos, xa que entre eles sempre hai un número par que lles impide ir realmente unidos, como o 11 e o 13, o 17 e o 19, o 41 e o 43. Se temos paciencia e seguimos contando, descóbrese que ditas parellas aparecen cada vez con menos frecuencia.


O que atopamos son números primos illados, coma perdidos nese espazo silencioso e rítmico feito de cifras, e un ten a angustiosa sensación de que as parellas achadas anteriormente non son senón feitos fortuítos, e que o verdadeiro destino dos números primos é quedarse sós. Pero cando, xa casos de contar, dispoñémonos a deixalo, atopámonos de pronto con outros xemelgos estreitamente unidos.
É convencemento xeral entre os matemáticos que, por moi atrás que quede a última parella, sempre acabará aparecendo outra, aínda que ese momento ninguén poida predicir onde.

Poderiamonos preguntar se os números primos e, mesmo, os números primos xemelgos van aparecendo cada vez con menor frecuencia, tal e como indica o texto anterior.
Pois ben, utilizando un pequeno programa que baixei da rede (buscando por "Xenerador de números primos"), púxenme a mirar se o número de primos vai baixando mentres vamos recorrrendo o conxunto de números naturais.
E este foi o resultado:
  • Calculei o número de primos que hai por millar, ata 250000 (aínda que pareza moito, no meu ordenador foron 9 min).
  • Representei o % de primos que hai por millar.
  • Axustei unha función á nube de puntos obtida.
E o resultado foi unha función logarítmica:

f(x) = -0,97lnx + 13,23



O que querrá dicir que o descendo do número de primos, axústase a unha función logarítmica e polo tanto o descenso é real, pero lento.
Podes ampliar este feito en: Teoremas dos números primos

É, que pasa cos primos xemelgos? Aparecerán con menor frecuencia?
Pois ben, facendo os mesmos pasos que antes, teremos o seguinte gráfico:


Neste caso,
  • a variable do eixe Y é: Pares de números xemelgos e o seu valor é absoluto.
  • No eixe X, chégase a 100000.
Podes observar que, despois do descenso inicial, o número de pares de primos xemelgos vai estabilizándose (habería que comprobar o comportamento máis adiante)
Aínda que o número de pares de primos xemelgos é moi oscilante, poderíamolos axustar á función:


No hay comentarios:

Publicar un comentario